1.3 第2课时 补集及集合的综合运算 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　补集及集合的综合运算 课程内容标准 学科素养凝练 1.在具体情境中，了解全集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．体会图形对理解抽象概念的作用. 通过对补集的学习以及集合的综合运算，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 一、全集与补集 1．全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U． 2．补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，如图，可用Venn图表示． 二、补集的性质 1．A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅． 2．∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若在全集U中研究问题，则集合U没有补集．(×) (2)集合∁BC与∁AC相等．(×) (3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．(√) 2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于(　C　) A．U　　　　　　　　　 B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 3．(教材P13练习题1改编)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于(　D　) A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4} 4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2≥4}，则∁UM等于__________． 答案　{x|－2＜x＜2} 探究一　求补集 [知能解读] (1)全集是相对于研究问题而言的一个概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集；研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合间的一种运算．求集合A的补集∁UA，首先必须具备A⊆U；其次利用定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}进行． (1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝__________． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则∁UA＝__________． (1){2,3,5,7}　(2){x|x＜－3或x＝5}　[(1)方法一　A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可得∁UA＝{x|x＜－3或x＝5}．] [变式]　若把本例第(2)题的条件“U＝{x|x≤5}”换成“U＝{x|－6＜x＜6}”，结果如何呢？ 解　∵U＝{x|－6＜x＜6}，A＝{x|－3≤x＜5}， ∴∁UA＝{x|－6＜x＜－3或5≤x＜6}． [方法总结]　求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数轴，需注意端点问题． [训练1]　设U＝{x∈Z|－5≤x＜－2或2＜x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}．求∁UA，∁UB． 解　方法一　在集合U中， ∵x∈Z，∴x的值为－5，－4，－3,3,4,5． ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}， ∁UB＝{－5，－4,5}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 探究二　集合的综合运算 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x≤0或x≥\f(5,2)))． 求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}． ∁UB＝{x|x≤－1或x＞3}， 又P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))， 所以(∁UB)∪P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(