1.4.1 充分条件与必要条件 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1 　 充分条件与必要条件 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 通过对充分条件与必要条件的学习与运用，强化逻辑推理、数学抽象的核心素养. 充分条件与必要条件 1．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p eq \o(⇒,/) q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(√) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(√) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(√) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”，也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(√) 2．(教材P20练习题1改编)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　A　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 3．(教材P20练习题2改编)已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的(　B　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．以上答案均不正确 4．“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的__________条件．(填“充分”或“必要”) 答案　必要 探究一　充分条件、必要条件的判定 [知能解读]　 充分条件、必要条件的再理解 (1)一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． (2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． (3)一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB． 解　(1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件． (4)这是线段垂直平分线的性质，p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． [方法总结]　充分条件、必要条件的两种判断方法 1．定义法： (1)“若p，则q”的命题中，若p⇒q时，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)若p eq \o(⇒,/) q，则p是q的不充分条件，q是p的不必要条件． 2．命题真假判断法： (1)如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． [训练1]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq \r(2x＋1)； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)． 解　(1)∵x2＝2x＋1 eq \o(⇒,/) x＝eq \r(2x＋1)，x＝eq \r(2x＋1)⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝eq \r(x－1)成立， 反过来，当x－1＝eq \r(x－1)成立时，可以推出x＝1或x＝2， ∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． 探究二　充分条件、必要条件与集合的关系 指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)p：x＜1，q：x≤2； (2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3． 解　(1)∵{x|x＜1}{x|x≤2}，∴p⇒q，但q eq \o(⇒,/) p，p是q的充分不必要条件．