1.4.2 充要条件 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．4.2 　 充要条件 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解充要条件的含义． 2．会证明充要条件的关系. 通过对充要条件的含义的学习以及充要条件的判定与证明，加深数学抽象、数学建模的核心素养. 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对命题“若p，则q”，如果既有p⇒q，又有q⇒p，那么p是q的充要条件．(√) (2)如果命题“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，那么p是q的充要条件．(√) (3)对命题“若p，则q”，A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A＝B，那么p是q的充要条件．(√) (4)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．(√) 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　A　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的__________． 答案　充要条件 4．(教材P21例3改编)下列各题中，p是q的充要条件的是__________.(填序号) ①p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； ②p：a＞b，q：a＋c＞b＋c． 答案　② 探究一　充要条件的判断 已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件； ②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件； ③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件； ④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件． A．③　　　 B．①②　　 C．①②③　 D．①②③④ D　[首先我们应搞清楚Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．] [方法总结]　当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是，p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件． [训练1]　给出下列各组条件： ①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0； ②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|； ③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； ④p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 A　[对①，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p eq \o(⇒,/) q，p是q的必要不充分条件；对②，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔xy≥0，所以p是q的充要条件；对③，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq \f(1,4)，所以p⇒q但q eq \o(⇒,/) p，p是q的充分不必要条件；对④，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p eq \o(⇒,/) q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．综上可知选A．] 探究二　证明充要条件 已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0． 证明　先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0． 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0． 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0． 从而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(3b2,4)≠0． 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立． 所以a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a