1.5.1 全称量词与存在量词 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1 　 全称量词与存在量词 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．了解全称量词命题和存在量词命题及真假. 通过对全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题的学习，增强数学抽象、逻辑推理的核心素养. 一、全称量词与全称量词命题 1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier)，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universal proposition)．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 2．通常，将含有变量x 的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 二、存在量词与存在量词命题 1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition)． 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(√) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(√) (3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(√) (4)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．(√) 2．量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(　C　) A．2个　　　 B．3个　　　 C．4个　　　 D．5个 3．下列命题中，不是全称量词命题的是(　D　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个实数都有立方根 D．一定存在没有最大值的二次函数 4．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为____________． 答案　∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 探究一　全称量词命题、存在量词命题的判断 [知能解读]　全称量词命题与存在量词命题的判断 判断一个命题为全称量词命题还是存在量词命题，关键是看命题中是否有全称量词和存在量词．应当指出，同一个全称量词命题、存在量词命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择： 命题 全称量词命题 “∀x∈M，p(x)” 存在量词命题 “∃x∈M，p(x)” 表 述 方 式 (1)所有的x∈M，p(x)成立 (1)存在x∈M，使得p(x)成立 (2)对一切x∈M，p(x)成立 (2)至少有一个x∈M，使p(x)成立 (3)对每一个x∈M，p(x)成立 (3)对有些x∈M，p(x)成立 (4)任意一个x∈M，p(x)成立 (4)对某个x∈M，p(x)成立 (5)凡x∈M，都有p(x)成立 (5)有一个x∈M，使p(x)成立 这里需要注意的是，有些全称量词命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．例如： (1)“末位是0的整数，可以被5整除”； (2)“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； (3)“负数的平方是正数”等都是全称量词命题． 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线互相垂直． 解　(2)(3)是存在量词分别为“有的”“有一个”的存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题． [方法总结]　判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 [训练1]　 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． 答案　(1)(3)为全称量词命题，(2)为存在量词命题． 探究二　全称量词命题、存在量词命题的真假 判断下列命题的真假： (1)梯形的对角线相等； (2)有些菱形是正方形； (3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数． 解　(1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等． (2)真：正方形是菱形的特例． (3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数． [方法总结]　全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 1．全称量词命题真假的判断 对于全