1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课程内容标准 学科素养凝练 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过对全称量词命题与存在量词命题的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养. 含有量词命题的否定 1．否命题：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．通常用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”． 2．对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 3．对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题¬p的否定是p.(√) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(√) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(√) 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　D　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 3．命题“∃x∈R，使得f(x)＝x”的否定是(　C　) A．∀x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．∀x∈R，都有f(x)≠x D．∃x∈R，使得f(x)≠x 4．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么¬p是____________________________． 答案　∃x＞2，x3－8≤0 探究一　含有量词的命题的否定 [知能解读]　一些常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语的 否定 一个也 没有 至多有 n－1个 至少有 两个 存在一个 x不成立 存在一个 x成立 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)可以被5整除的整数，末位是0． 解　(1)¬p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.假命题，如x＝3时，x2－2x－3＝0． (2)¬p：任意素数不是奇数．假命题，如素数3为奇数． (3)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15． [方法总结]　 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 (1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定． [训练1]　写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)∃x，y∈Z，使得 eq \r(2)x＋y＝3． 解　(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题． (2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”． 因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题． (3)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有eq \r(2)x＋y≠3”． 因为当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3， 所以原命题为真，命题的否定为假命题． 探究二　利用命题的否定求参数的取值范围 若“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题，求实数a的取值范围． 解题流程： 第一步　泛读题目明待求结论：求实数a的取值范围． 第二步　精读题目挖已知条件：“存在x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题． 第三步　建立联系寻解题思路：已知条件等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题． 第四步　书写过程养规范习惯． 解　“存在x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题，等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立． 当a＝0时，不等式显然成立； 当a≠0时，有Δ＝4a2＋4a＜0且a＜0，解得－1＜a＜0． 综上，实数a的取值范围是(－1,0]． [变式]　若将本例中的“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”改为“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)≤0”，其他条件不变，结果如何呢？ 解　由题意可得“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3，