2.2 第1课时 基本不等式 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 通过基本不等式的推导，增强逻辑推理的核心素养；通过基本不等式的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 一、重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．不等式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明． 2．不等式a2＋b2≥2ab常变形为ab≤eq \f(a2＋b2,2)或a2＋b2＋2ab≥4ab或2(a2＋b2)≥(a＋b)2等形式，要注意灵活掌握． 二、基本不等式 eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) 1．如果a＞0，b＞0，我们用eq \r(a)，eq \r(b)分别代替重要不等式中的a，b，可得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，①当且仅当a＝b时，等号成立．通常称不等式①为基本不等式(basic inequality)．其中，eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．因此，基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式的证明 (1)代数证法 方法一：∵a＋b－2eq \r(ab)＝(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2－2eq \r(ab)＝(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，∴a＋b－2eq \r(ab)≥0，即a＋b≥2eq \r(ab)，∴eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).当且仅当a＝b时等号成立． 方法二：分析法，见教材P44证明过程． (2)几何证法 在下图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点 C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD．可得到CD＝eq \r(ab)，eq \f(1,2)AB＝eq \f(a＋b,2)，由CD小于或等于圆的半径，可得出eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当点C为圆心，即a＝b时等号成立． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知a，b∈R，则a2＋b2＞2ab.(×) (2)若a，b同号，则a＋b≥2eq \r(ab) .(×) (3)若ab＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) .(×) (4)已知ab＞0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2.(√) 2．(教材P46练习题3改编)已知x＞0，当x＋eq \f(81,x)的值最小时，x为(　B　) A．81　　　 B．9　　 　 C．3　　 　 D．16 3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　A　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 4．有下列不等式：①a＋eq \f(1,a)≥2；②(－a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))≤－2；③a2＋eq \f(1,a2)≥2；④(－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))2≤－2.其中正确的是__________.(填序号) 答案　③ 探究一　对基本不等式的理解 [知能解读]　在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq \f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq \f(1,x2＋1)≥1.其中正确的个数是(　　) A．0　 　 　 B．1　 　 　 C．2　 　 　 D．3 C　[对于①，∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时等号成立)；当x＜0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时等号成立)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则eq \f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋eq \f(