2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握图象法解一元二次不等式，会对含参数的一元二次不等式分类讨论． 3．理解一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的含义． 通过二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的联系，达成直观想象和数学运算的核心素养；通过一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的含义，增强逻辑推理与直观想象的核心素养. 一、一元二次不等式的概念 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric inequality in one unknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0． (2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 ax2＋bx＋ c＝0(a＞0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的 实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋ c＞0(a＞0) 的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x≠－\f(b,2a))) R ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法 eq \x(\a\al(将原不等式化成ax2＋,bx＋c＞0a＞0的形式))⇒eq \x(计算Δ＝b2－4ac的值)⇒ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(×) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×) (3)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(3,2))))).(×) (4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√) 2．(教材P53练习题2(3)改编)不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　A　) A．∅　　　 B．R　　　 C．{x|x＞5} D．{x|x＜2} 3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　C　) A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3} C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2} 4．不等式－x2＋x－2＜0的解集为__________． 答案　R 探究一　解不含参数的一元二次不等式 [知能解读]　解一元二次不等式的一般步骤 (1)利用不等式的性质，将不等式化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； (3)由图象得出不等式的解集． 解下列一元二次不等式： (1)2x2＋5x－3≥0； (2)x2－4x＋4＞0； (3)2x2＋x＋1＜0； (4)－x2＋x＋12＞0． 解　(1)∵2x2＋5x－3≥0可化为(2x－1)(x＋3)≥0，得x≥eq \f(1,2)或x≤－3， ∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)或x≤－3))))． (2)∵x2－4x＋4＞0可化为(x－2)2＞0，得x≠2， ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}． (3)∵2x2＋x＋1＜0中Δ＝1－4×2×1＜0， 且二次项系数为正， ∴2x2＋x＋1＜0的解集为∅． (4)由－x2＋x＋12＞0化为x2－x－12＜0， 即(x＋3)(x－4)＜0，解得－3＜x＜4， ∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜4}． [方法总结]　解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号的方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式