精品解析：江西省南昌县莲塘县第三中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题

南昌县莲塘三中高二下学期期末考试 理科数学 一．单选题 1. 如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（ ） A. Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B. Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱 C. Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D. Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱 2. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 8 B. C. D. 4. 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A. 正三角形的顶点 B. 正三角形的中心 C. 正三角形各边的中点 D. 无法确定 5. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其，，则原图形是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 6. 如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角平面角的正切值为 A. B. C. 1 D. 7. 正方体中，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为,则圆锥的表面积是底面积的倍， A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知四棱锥的体积为，底面是边长为2的正方形，面，则四棱锥最长的棱的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 11. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，正方体的棱长为，为，的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 A. B. C. D. 二．填空题 13. 对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______. 14. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的体积为________. 15. 如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______. 16. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 ，现有如下四个结论： ①；②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④异面直线所成的角为定值. 其中正确结论序号是______． 三．解答题（17题10分，其余12分） 17. 平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （1）证明：平面AEC； （2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离. 19. 如图，点分别是椭圆的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B． （1）求椭圆C的离心率e； （2）若的周长为，求椭圆C的标准方程． 20. 已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求证：当时， 21. 已知是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和． (1)求； (2)试用数学归纳法证明：． 22. 在平行四边形中，过点作的垂线交的延长线于点，.连结交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2. 证明：直线平面 若为中点，为的中点，且平面平面求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县莲塘三中高二下学期期末考试 理科数学 一．单选题 1. 如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（ ） A. Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B. Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱 C. Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D. Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面平行的性质和棱柱的性质，结合棱柱的定义进行判断即可. 【详解】由平面平面可知：平面与三棱柱的各个侧面都平行，而三棱柱上下底面平行且是全等形，因此三角形与三角形是全等三角形，四边形和四边形是全等的四边形，根据棱柱的定义可知：Ⅰ，Ⅱ都是棱柱. 故选：C 【点睛】本题考查了棱柱的判断，考查了平面平行的性质，考查了棱柱的性质，属于基础题. 2. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B