专练10 几何压轴题（15题）-2020～2021学年八年级数学上学期期末考点必杀200题（华东师大版）

专练10 几何压轴题（15题） 1．（2020·武穴市龙坪镇中学八年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析． （1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵△ACB，△DCE都是等腰三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°， ∴∠BEC＝130°， ∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°． （2）结论：AE＝2CF+BE． 理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF， ∵AD＝BE， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CF． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键． 2．（2018·安徽安庆市·八年级期末）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N. （1）如图①，若∠BAC ＝ 110°，求∠EAN的度数； （2）如图②，若∠BAC ＝70°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC ＝ α（α ≠ 90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式． 【答案】(1) 40°;(2) 40°.;(3)见解析. 解：(1)∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B， 同理可得∠CAN＝∠C， ∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)， 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝70°， ∴∠EAN＝110°－70°＝40°. (2)∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B， 同理可得∠CAN＝∠C ∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC， 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°， ∴∠EAN＝110°－70°＝40°. (3)当α＜90°时，∠EAN＝180°－2α； 当α＞90°时，∠EAN＝2α－180°. 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键． 3．（2020·山东滨州市·八年级期末）已知ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM＝BM，连接AD． （1）如图①，求证：DAM≌BCM； （2）已知点N是BC的中点，连接AN． ①如图②，求证：ACN≌BCM； ②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 解：（1）∵点M是AC中点， ∴AM=CM， 在△DAM和△BCM中， ∵， ∴△DAM≌△BCM（SAS）； （2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， ∴CM=CN， 在△BCM和△ACN中， ∵， ∴△BCM≌△ACN（SAS）； ②证明：取AD中点F，连接EF， 则AD=2AF， ∵△BCM≌△ACN， ∴AN=BM，∠CBM=∠CAN， ∵△DAM≌△BCM， ∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN， ∴AF=CN， ∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC， 由（1）知，△DAM≌△BCM， ∴∠DBC=∠ADB， ∴AD∥BC， ∴∠EAF=∠ANC， 在△EAF和△ANC中， ， ∴△EAF≌△ANC（SAS）， ∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠DFE=90°， ∵F为AD中点， ∴AF=DF， 在△AFE和△DFE中， ， ∴△AFE≌△DFE（SAS）， ∴∠EAD=∠EDA=∠ANC， ∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°， ∴B