专练09 全等三角形与勾股定理（20题）-2020～2021学年八年级数学上学期期末考点必杀200题（华东师大版）

专练09 全等三角形与勾股定理（20题） 1．（2020·贵州铜仁市·八年级期末）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P. （1）求证：BF＝CE； （2）求∠BPC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． （1）证明：∵△ABC是等边三角形 在△ABF和△BCE中 ∴△ABF≌△BCE ∴BF=CE； （2）∵△ABF≌△BCE ∴∠ABF=∠BCE ∵∠ABF+∠FBC=60° ∴∠BCE+∠FBC=60° ∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC）=180°-60°=120°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 2．（2020·贵州铜仁市·八年级期末）在中，，点、分别在、上，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 （1）证明：∵ ∴ 在和中 ∴ （2）证明：∵ ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等式的性质等知识点，体现了逻辑推理的核心素养． 3．（2018·贵州毕节市·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． 求证：（1）CF＝EB； （2）AB＝AF＋2EB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC， 在Rt△CFD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL）， ∴CF=EB； （2）在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE， ∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．（2019·广东广州市·八年级期末）如图，已知中，，是的平分线，于点，点在边上，．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 证明：（1）∵是的平分线 ∴∠CAD＝∠EAD ∵,于点 ∴∠C＝∠AED＝90° ∴180°－∠C－∠CAD＝180°－∠AED－∠EDA 即∠CDA＝∠EDA 在△ACD和△AED中 ∴△ACD≌△AED（ASA） ∴DC＝DE （2）在Rt△CDF和Rt△EDB中 ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL） ∴ （3）由（1）知△ACD≌△AED（ASA） ∴AC＝AE ∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＝AF＋CF＋BE 由（2）知，CF＝BE ∴AB＝AF＋2BE 即 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质、线段的和差，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法：ASA、HL． 5．（2019·广东广州市·八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 解：（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴AC=BC，EC=DC, 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE=BD； （2）证明：如图，延长AE交BD于F， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE=∠CBD， ∵∠BCD=90°， ∴∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠CAE+∠BDC=90°， ∴∠AFD=90°， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的定义，根据题意证明△ACE≌△BCD是解题关键． 6．（2020·云南昆明市·）如图，中，D是的中点，，过D点的直线交于F，交于G点，，交于点E，连结． 证明：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 解：（1）证明： ∵BG∥AC， ∴∠DBG=∠DCF． ∵D为BC的中点， ∴BD=CD 又∵∠BDG=∠CDF， 在△BGD与△CFD中， ∵ ∴△BGD≌△CFD（ASA）． ∴BG=CF． （2）∵△BGD≌△CFD， ∴GD=FD，BG=CF． 又∵DE⊥FG， ∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）． ∴在△EBG中，BE+BG＞EG， 即BE+CF＞EF． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，垂直平分线的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能灵活运用是解题关键；（2）能结合全等三角形的性质和垂直平分线的性质把线段代换到同一个三角形中是解题关键． 7．（2019·安徽池州市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交B