专题1.1勾股定理精讲精练-2020-2021学年八年级数学上学期期末考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年八年级数学上学期期末考试高分直通车【北师版】 专题1 【目标导航】 【知识梳理】 1.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3.勾股定理的证明： （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 勾股数： 4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 说明： 1 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5.勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例剖析】 专题1.1勾股定理精讲精练 【考点1】勾股定理 【例1】（2019秋•英德市期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积． 【解析】∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2＝225， ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2＝289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64， 则正方形QMNR的面积为64． 故选：D． 【变式1.1】（2019秋•高新区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　） A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0， ∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， ∴直角三角形的第三边长5，或直角三角形的第三边长， ∴直角三角形的第三平方为25或7， 故选：C． 【变式1.2】（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（　　） A．36 B．9 C．6 D．18 【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解． 【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD， ∴∠1＝∠2∠ACB，∠3＝∠4∠ACD， ∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°， ∴△CEF是直角三角形， ∵EF∥BC， ∴∠1＝∠5，∠4＝∠F， ∴∠2＝∠5，∠3＝∠F， ∴