6.2平面向量的运算第三课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 第3课时向量的数量积 【课程标准】 1． 理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 2． 通过几何直观，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意义。 3． 会用向量的数量积判定两个向量的垂直关系，以及解决夹角、模的问题 【知识要点归纳】 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝(0≤≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当＝0时，向量a与b同向； ②当＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当＝时，向量a与b反向． 2．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|. 规定零向量与任一向量的数量积为0． 注意： (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定． (2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． 3．投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量． 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a| e. 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. (4)|a·b|≤|a||b|. 注意： 对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直． 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·