6.2平面向量的运算第二课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 第2课时 向量的数乘运算 【课程标准】 1. 通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义。 2. 了解平面向量的线性运算性及其几何意义。 3. 掌握平面向量基本定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 【知识要点归纳】 1．数乘向量 (1)定义： 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： (i)当λ＞0时，与a的方向相同； (ii)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． (2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． (3)运算律： 设λ，μ为实数，则 ①(λ＋μ)a＝λ a＋μ a； ②λ(μ a)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 注意：数乘向量与实数的乘法的区别。 [提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的． 2．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【经典例题】 例1．已知，， （1）求． （2）求。 例2．已知，，，都是向量，且，，试用，分别表示，． 例3．已知两个非零向量与不共线，，，． （1）若，求的值； （2）若，，三点共线，求的值． 例4．已知非零向量，，，，，求证：，，三点在同一条直线上． 例5．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，． （1）用，分别表示向量，； （2）若，求实数的值． 【当堂检测】 一．选择题（共4小题） 1．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则　　 A． B． C． D． 2．已知，点为边上一点，且满足，则向量　　 A． B． C． D． 3．在平行四边形中，为的中