专题7 导数专题之极值点偏移问题-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题7导数中的极值点偏移 1．已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，设函数 的两个零点为 ， ，试证明： . 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； （2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数 ，讨论 的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设 ，则有 ，构造函数 ， ，利用导数判断出函数单调递增，从而可得 ，再由 即可求解. 【详解】 解：（1）易得函数 的定义域为 . 对函数 求导得： . 当 时， 恒成立，即可知 在 上单调递增； 当 时，当 时， ，当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）当 时， ， ， 此时 在 上单调递增，在 上单调递减. ，又 ， ， 不妨设 ，则有 ， 令 ， ， . 当 时， ， 单调递增， ， ， ， 又 ， ， ， ， 在 上单调递减， ，即 . 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，属于难题. 2．已知函数 . （1）求函数 的极值； （2）若函数 有两个零点 ，且 ，证明： . 【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析. 【分析】 （1）求出 ，分两种情况讨论 的范围，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性可得函数的极值； （2） ， 为函数 零点，可得 ，要证 ，只需证 ， ，构造函数利用单调性可得结论. 【详解】 （1）函数 的定义域为 ， . 当 时， ， 在 上是减函数，所以 在 上无极值； 当 时，若 ， ， 在 上是减函数. 当 ， ， 在 上是增函数， 故当 时， 在 上的极小值为 ， 无极大值. （2）当 时， ， 由（1）知， 在 上是减函数，在 上是增函数， 是极值点， 又 ， 为函数 零点，所以 ，要证 ，只需证 . ∵ ，又 ∵ ，∴ ， 令 ，则 ， ∴ 在 上是增函数，∴ ，∴ ， ∴ ，即 得证. 【点睛】 本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题， 3．已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 的图象与直线 交于 ， 两点，记 ， 两点的横坐标分别为 ，且 ，证明： . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）对函数求导得 ，再对 分两种情况讨论，即可得答案； （2）利用分析法要证 成立，只需要 又 ，则只需要证明 ，即证 ，构造函数 ， ，只需证 ，即可得答案； 【详解】 解：（1） ， 时， ， 在 递增， 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 递减，在 递增； （2）函数的 的导数 ，若 ，则 ，还是单调递增， 则不满足条件，则 由 得 ，由 得 ， 即当 时，还是 取得极小值同时也是最小值 ∵ 有两个根，∴ ，即 ，则 ，即 要证 ，则只需要 又 ，则只需要证明 ，即证 ， 令 ， ， 则 ， ， 即 在 上单调递减， 即 则命题成立. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调性、构造函数利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分析法的应用. 4．已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）已知 是函数 的极值点，若 ，求证： (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数的几何意义求 在点 处的切线方程即可；（2）利用导数研究 有极值点 ；结合已知条件构造 ，应用导数研究其单调性及 即可证 . 【详解】 （1）由 ，有 ∴ ，而 ，可知曲线 在点 处的切线方程为 （2）由（1）得 ，令 ， 则 在 上恒成立，即 在 上单调递增，而 ，知当 时， ；当 时， ， ∴当函数 在 上单调递减，在 上单调递增，即 在 处取得极大值. ∵ ，不妨设 ， 令 ，则 EMBED Equation.DSMT4 因为 ，所以 ，即有 ， ∴ ，即函数 在 上单调递减，而 ， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，有 在 上恒成立，又 ，所以 ， 因为 且 ，而函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，而 ，所以 得证. 【点睛】 本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式. 5．已知函数 （1）若 存在极值点1，求 的值； （2）若 存在两个不同的零点 ，求证： 【答案】(1) ；(2) 见解析. 【详解】 试题分析：（1）由 存在极值点为1，得 ，