专题6 导数专题之导数的综合应用-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题6导数的综合应用 1．函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解. 【详解】 由题得 ， 令 得 或 ，令 得 ， 所以函数的单调递增区间为 ，减区间为 . 所以函数的极大值为 ，极小值为 ， 当 时， 当 时， 所以函数的零点个数为2. 故选：C 【点睛】 方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令 重新构造函数 ，画出两个函数的图象得解）” 2．如果不等式 对于 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分 、 、 三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数 的取值范围. 【详解】 由已知，不等式 对于 恒成立. ①当 时，则有 恒成立，此时 ； ②当 时，由 可得 ， 令 ， ， 所以，函数 在区间 上为增函数，则 ，则 ，得 ； ③当 时，由 可得 ， 令 可得 ，列表如下： 极大 此时，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，即 ， ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选：A. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， . 3．已知函数 ，若关于 的不等式 在 上有实数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可得 ，利用导数求出函数 在区间 上的最大值，由此可求得实数 的取值范围. 【详解】 由题意可知，存在 ，使得 ，则 . ，则 ， 当 时， ， 所以，函数 在区间 上单调递增，则 ， ， 因此，实数 的取值范围是 . 故选：B. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， . 4．已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造新函数，结合导数可得 ，进而可得 ，即可得 ，通过放缩可证明 ，即可得解. 【详解】 令 ， 则 ， 所以 单调递减， ，所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ； 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， ，所以 ， 所以 ； 所以 . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是构造新函数对代数式进行合理放缩. 5．设 ，已知函数 ，对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令 ，用导数法得到 在 上递减；再根据 ，则 在 上递减，然后再根据对任意 ，都有 ，由 求解. 【详解】 设 ， 则 ， 当 或 时 ， 递增； 当 时 ， 递减； 当 时， ( ， 所以 在 上递减； 所以 在 上递减； 所以 因为任意 ，都有 ， 所以 ， 即 ， 即 ， 解得 或 ，又 ， 所以实数 的取值范围为 ， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意 ，都有 等价于 ，二是 在 上的单调性，由 ，利用导数法求解. 6．若 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对A，B可构造函数 ，通过函数的单调性比较即可，对C，D可构造函数 ，再根据函数的单调性比较即可. 【详解】 解：对A，B， ， 要比较 和 的大小，即比较 和 的大小， 令 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ，使 ， 即 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减， 在区间 上不单调，故无法判断 与 的大小， 所以A，B错误； 对C，D， ， 要比较 与 的大小，只需要比较 与 的大小； 令 EMBED Equation.DSMT4 ， 则 ， 又 ， ， 在 上单调递增， 又 ， ， 即 ， 即 ， 整理得： ，所以C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 7．已知函数 ，若方程 在区间 内有且仅有一个根，则实数 的取值范围是