专题5 导数专题之利用导数求函数极值最值-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题5导数的应用之求函数极值最值 1．已知函数 的两个极值分别为和 ，若 和 分别在区间 与 内，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由极值点的所在区间即可知 的导函数 的零点区间，应用根的分布可得 ，结合目标式的几何意义，即可求其范围. 【详解】 函数 的两个极值分别为 和 ， ∴ 的两个根为 ， ， ∵ ， 别在区间 与 内， 所以 化为： . 画出可行域如图（阴影部分）， 设 ，点 是可行域内部的点， 则 表示直线 的斜率， 由图象可得， 或 ， 由 得 ；由 得 ， 所以 ， ，因此 或 ， 即 的取值范围为 故选：A. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据函数的极值点，求出 所满足的等量关系，再由分式型目标函数的取值情况，利用数形结合的方法，即可求解. 2．已知函数 在 上有极值，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导可得 ，则 在 上有变号零点，令 ，利用二次函数的性质可求得 的取值范围． 【详解】 ，设 ， 函数 在区间 上有极值， 在 上有变号零点，即 在 上有解， 令 ，由 可得 ，即 ， 得到 ，解得： ． 故选： ． 3．函数 在 时有极值0，那么 的值为（ ） A．14 B．40 C．48 D．14或40 【答案】B 【分析】 由导数与函数的关系 得出 的值，再检验 ， 或 ， 是否成立. 【详解】 函数 ， 若在 时有极值0，可得 则 ，解得： ， 或 ， 当 ， 时， ，满足题意函数 在 时有极值0． 当 ， 时， ，不满足题意：函数 在 时有极值0． ． 故选：B 4．函数 ，已知 在 时取得极值，则 的值为（ ） A．5 B．3 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】 求出 导数，由题可得 ，由此可求出 . 【详解】 ， ， EMBED Equation.DSMT4 在 时取得极值， ，解得 . 故选：D. 5．已知 ， ，若 是函数 的极小值点，则实数 的取值范围为（ ） A． 且 B． C． 且 D． 【答案】B 【分析】 由 既是 的极小值点，又是零点，且 的最高次项系数为1，因此可设 ，这样可求得 ，然后求出 ，求得 的两个零点，一个零点是 ，另一个零点 必是极大值点，由 可得 的范围． 【详解】 因为 ， 是函数 的极小值点，结合三次函数的图象可设 ，又 ， 令 得 ， ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，由 得 ， ， 是极小值点，则 是极大值点， ，所以 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围． 6．已知函数 ，当 时，函数 有极值，则函数 在 上的最大值为_________. 【答案】13 【分析】 由题可得 在 的导数值等于0，可求得 ，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值. 【详解】 ，当 时，函数 有极值， ，解得 ， ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 在 处取得极大值 ， 且 ， ， EMBED Equation.DSMT4 在 上的最大值为13. 故答案为：13. 【点睛】 方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法： （1）先求出函数的导数； （2）根据导数的正负判断函数的单调性； （3）求出极值，端点值，即可判断出最值. 7．若函数 只有一个极值点，则 的取值范围为________ 【答案】 【分析】 函数 有只有一个极值点 函数 只有一个变号零点，分别讨论 、 、 三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案. 【详解】 函数 有只有一个极值点 函数 只有一个变号零点， 则 ，易知 ， ①当 时， ，显然不合题意； ②当 时， ，当 时 ， 为减函数， 当 时 ， 为增函数， 所以 为函数 唯一极值点，满足题意； ③当 时，若 为 唯一的零点 EMBED Equation.DSMT4 只有唯一解，则 ，可得 无解，即 无解， 设 ，则 ，当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数， ， 所以 ，经验证满足题意； ④当 ，若 不是 唯一的零点， 可能有2个或3个零点，当 有3个零点时候显然不合题意，当 有两个零点时， 有一个零点时， ， 当 有两个零点时，结合题意， 为其中一个零点，所以 ，经验证满足题意； 故答案为： 【点睛】 解题的关键是将 只有一个极值点等价为函数 只有一个变号零点，分析 解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和 共同零点时，也符合题意，属中档题. 8．已知函数 . （1）求 的极值； （2）求 在区间 上的最小