专题4 导数专题之利用导数判断函数单调性-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题4导数的应用之判断函数单调性 1．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：函数为y＝f(x)偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f(x)+xf′(x)＜0成立（f′(x)是函数f(x)的导函数）.若 ，则a、b、c的大小关系是（ ） A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【分析】 构造函数g(x)＝xf(x)，判断函数的单调性，利用单调性可得答案. 【详解】 f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f(x)+xf′(x)＜0， 令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)+xf′(x)＜0， ∴g(x)在x∈（﹣∞，0）上是减函数， 由g(x)为奇函数，可得在（0，+∞）上是减函数， ∴g(x)在R上为减函数. ∵ ＝2＞ln2＞﹣1， ∴a＞b＞c. 故选：D. 【点睛】 构造函数并根据已知条件利用导数判断函数的单调性是常用的方法，有时还结合函数的单调性奇偶性等，考查分析问题解决问题的能力. 2．定义在 上的函数 有不等式 恒成立，其中 为函数 的导函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据已知条件可以得到 ， 在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到 ,进而得到结论. 【详解】 解： ，即 ，因为 定义在 上， EMBED Equation.DSMT4 ，令 则 ， ， 则函数 在 上单调递增. 由 得， 即， ； 同理令 ， ， 则函数 在 上单调递减. 由 得， ，即 . 综上， . 故选：B. 【点睛】 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题. ，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有 的导数产生，综合需要两边同乘以 ，得到 ， 进而得到 得到函数 ，同样道理得到 的单调性，这是解决本题的关键和难点. 3．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出函数 的定义域与导数，再解不等式 ，将该不等式的解集与定义域取交集可得出原函数的单调递减区间. 【详解】 函数 的定义域为 ，求导得 ， 解不等式 ， ，解得 . 因此，函数 的单调递减区间为 . 故选：C. 4．设 ， ， 是自然对数的底数，下列选项正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 【分析】 对于A，B，构造函数 ，利用函数的单调性判断即可，对于C，D，构造函数 ，利用导数求出此函数的单调区间和极值，从而可得方程 有两个不等的实根，且一根大于1，一根大于0小于1，进而可判断C，D 【详解】 解：因为 ， ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，因而 成立，所以A正确，B错误， 对于C，D，当 时， ，令 ，则 ，则 ，得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 因为 ， 所以方程 有两个不等的实根，且一根大于1，一根大于0小于1，所以无法判断 大小，所以C，D错误， 故选：A 【点睛】 关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而进行判断，考查数学转化思想，属于中档题 5．已知定义在 上的函数 是奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题首先可根据题意得出函数 的图像关于点 中心对称且 ，然后根据基本不等式得出 ，则函数 在 上单调递增，最后将不等式 转化为 或 ，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为函数 是定义在 上的奇函数， 所以函数 的图像关于点 中心对称，且 ， 当 时， ， 则 ，当且仅当 时取等号， 故 ，函数 在 上单调递增， 因为函数 的图像关于点 中心对称， 所以函数 在 上单调递增， 不等式 可化为 或 ， ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ， 故不等式的解集为 ， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：若函数 是偶函数，则函数 的图像关于直线 对称；若函数 是奇函数，则函数 的图像关于点 中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题. 6．已知函数 ，则 的大小关系（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先设函数 判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数 的对称性和单调性，再将 ， ，以及 转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】 令 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 是偶函数； 当 时， ， 在 上是增函数， 将 图像向右平移一个单位得到 图像， 所以 关于直线 对称，且在 单调递增. ∵ ， ， ， ∴ ， ∴