专题1.7直角三角形的边角关系精讲精练-2020-2021学年九年级数学上学期期末考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年九年级数学上学期期末考试高分直通车【北师大版】 专题1.7直角三角形的边角关系精讲精练 【目标导航】 【知识梳理】 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边= （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2.特殊角的三角函数值 （1）30°、45°、60°角的各种三角函数值 （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 3.解直角三角形： （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系： ③边、角之间的关系：sinA= =，cosA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． 4.解直角三角形的应用： （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 5.坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 6.俯角、仰角问题： （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【典例剖析】 【考点1】锐角三角函数的定义 【例1】（2020•河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【解析】如图所示： ∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB13， ∴sinB． 故选：D． 【变式1.1】（2020•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA，则AC的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．13 【分析】根据余弦的意义，直接计算即可． 【解析】∵cosA，即，AB＝13， ∴AC＝AB•cosA＝5， 故选：A． 【变式1.2】（2020秋•南关区校级期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【解析】如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA． 故选：C． 【变式1.3】（2020秋•惠山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是（　　） A．m•sin35° B． C． D．m•cos35° 【分析】根据三角函数的意义可得出答案． 【解析】在Rt△ABC中， ∵cosA， ∴AC＝AB•cosA＝m•cosA， 故选：D． 【考点2】特殊角的三角函数值 【例2】（2020•龙岗区二模）若锐角A满足cosA，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案． 【解析】∵c