练习10 圆锥曲线的综合应用-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

圆锥曲线的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知F为椭圆C：的右焦点，点F关于直线的对称点为Q，若直线l过点Q，且，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（ ） A． B．4 C．5 D． 4．已知抛物线：的焦点为，点，在抛物线上，且关于轴对称，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 6．若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________ 10．直线与抛物线相交于点且，则面积的最小值为__________． 11．已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线、、、的斜率分别为，则______． 三、解答题 12．已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为． （1）求双曲线的方程． （2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由． 13．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求. 14．已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求的值； （3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标. 15．已知抛物线的准线方程为． （1）求抛物线的方程； （2）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，，直线，分别交轴于，两点，求的值． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．B 【分析】 先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解. 【详解】 由点关于直线：对称点为，所以直线， 设椭圆的参数方程为（为参数），设点，则点M到直线l的距离为：， 故选B． 【点睛】 椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值. 2．B 【分析】 通过将圆与两条切线的夹角转化成直角三角形中的边角关系进行求解，数形结合加以求解. 【详解】 圆：，圆心，半径，如图所示： 由图可知，当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则， ，即，解得， 故选：B. 【点睛】 关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是将问题转化为直线与圆相切，从而转化成直角三角形中的计算问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题. 3．D 【分析】 先设出直线的方程，联立直线与抛物线，得到：，，再由，，求出，再根据焦点弦公式即可求出. 【详解】 解：如图所示， 由题意知：：，， 设，，直线：， 则，， 由， 得：， ，， ，， ， 解得：， 设抛物线准线交轴于， 则，在中，可得，， 是等边三角形， ，， . 故选：D. 【点睛】 方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 4．C 【分析】 由题意设，（），则，，再由，可得，从而可求出的值，从而可求得结果 【详解】 不妨设，（），则，， 因为 所以，即，解得， 故的面积为， 故选：C． 5．A 【分析】 设，由点差法运算可得，再由离心率公式即可得解. 【详解】 设，则， ， 所以，作差得， 所以，即， 所以该椭圆的离心率. 故选：A. 6．B 【分析】 转化为函数与函数的图象恰有两个交点，作出函数的图象，利用的斜率可求得结果. 【详解】 因为关于的方程恰有两个实数根， 所以函数与函数的图象恰有两个交点，即直线与半圆恰有两个交点， 如图： 直线经过定点， 当直线与半圆切于时， ，解得，