练习08 双曲线-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

双曲线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由双曲线的方程直接求渐近线方程. 【详解】 双曲线中，，，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2．已知双曲线的渐近线为，且过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 按照焦点在轴、轴讨论，由渐近线方程及椭圆过的点运算即可得解. 【详解】 当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则渐近线方程为，即， 所以双曲线方程为，所以，解得， 所以双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 则渐近线方程为，即， 所以双曲线方程为，所以，不合题意； 所以该双曲线的标准方程为. 故选：B. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由得，由双曲线定义得，在中应用勾股定理得，在中再应用勾股定理得的关系式，求得离心率． 【详解】 因为，所以， 又，所以，又， 由得，解得， 所以由，得，解得． 故选：B． 4．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】 求出上焦点F1的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值，推出结果． 【详解】 解：∵F是双曲线的下焦点， ∴，c＝4，F（0，−4）， 上焦点为（0，4）， 由双曲线的定义可得 ， 当A，P，H三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 5．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 由双曲线标准方程的形式，利用定义法(推出关系)判断充要条件，即可知正确选项. 【详解】 方程表示双曲线，知异号，即； ，有表示双曲线. 故选：C 6．已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，得，两式做差得到，代入条件即可计算离心率． 【详解】 设 ，两式做差得 整理得， 而，，， 代入有，即 可得． 故选：A. 7．已知双曲线()的左､右焦点分别为､，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，，根据双曲线的定义以及性质可得，，再利用离心率的式子即可求解. 【详解】 作图，设，， 则有，，， ∴，，解得， 故选：A. 8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】 设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率. 【详解】 设，则由双曲线定义可得， ，则， 则，解得，从而. 在中，， 即，解得. 故选：D. 二、填空题 9．双曲线上一点，其焦点为，，则的面积为_________. 【答案】16 【分析】 设，由双曲线定义和勾股定理可得，，求出，即可得出面积. 【详解】 设为双曲线右支上的一点，， 由双曲线方程可得， 则由双曲线的定义可得， ，， 则，解得， . 故答案为：16. 10．设双曲线的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为8，则___________. 【答案】 【分析】 利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解即可． 【详解】 解：不妨设P为双曲线左支上一点，由题意，设，， 可得，，，， 可得，即， ，即，则． 故答案为：． 11．已知离心率为 的双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是________． 【答案】16 【分析】 结合图像，根据双曲线的渐近线和焦点的关系，即可得解. 【详解】 如图， 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上， 由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a. 由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，， 所以a＝8，b＝4，c＝ ， 所以双曲线C的实轴长为16. 故答案为：16. 12．如图，F1，F2是双曲线C： (a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【