专题13 基本不等式及其应用-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题13 基本不等式及其应用 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）设 ，则“ ”是“ ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由 得， ，所以是充分条件； 由 EMBED Equation.DSMT4 可得 ，所以是必要条件， 故“ ”是“ ”的充要条件．答案选C． 2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数 在R上单调,若正实数 满足 则 的最小值是( ) A．1 B． C．9 D．18 【答案】A 【解析】奇函数 在R上单调， 则 故 即 当 即 时等号成立 故选： 3、【2020年山东卷】.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A， EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B， ，所以 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 4、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月份月考试卷）已知 ，且 .则 的最大值是_________. 【答案】10 【解析】 当且仅当 ，即 时，等号成立 则 ，即 的最大值是 故答案为： 5、（2020届山东省临沂市高三上期末）当 取得最小值时， ______. 【答案】4 【解析】 当且仅当 ，即 时，等号成立. 故答案为： 6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数 的最小值是__________. 【答案】 【解析】由于 ，故 ，故 ，当且仅当 ，即 时，函数取得最小值为 . 故填： . 【问题探究，变式训练】 题型一 运用基本不等式求函数最值 例1、【2020年江苏卷】已知 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵ ∴ 且 ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 变式1、【2019年高考天津卷理数】设 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】方法一： . 因为 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号成立.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，结合 可知， 可以取到3，故 的最小值为 . 方法二： EMBED Equation.DSMT4 . 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为 . 变式2、【2018年高考天津卷理数】已知 ，且 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知，且， 因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）若 ，则 的最小值为（ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，且 ， ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 且 即 时，等号成立； 故选：C． 变式4、【2017年高考天津卷理数】若 ， ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 ，（前一个等号成立的条件是 ，后一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时成立，当且仅当 时取等号）． 题型二 运用基本不等式处理多元问题 例2、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 ， 变式1、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则eq \f(ac,b)＋eq \f(c,ab)－eq \f(c,2)＋eq \f(\r(5),c－2)的最小值为________． 【答案】. eq \r(10)＋eq \r(5)　 【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解． 因为a＞0，b＞0，所以eq \f(a,b)＋eq \f(1,ab)－eq \f(1,2)＝eq \f(a,b)＋eq \f(a＋b2,4ab)－eq \f(1,2)＝eq \f(a,b)＋eq \f(a2＋2ab＋b2,4ab)－eq \f(1,2)＝eq \f(5a,4b)＋eq \f(b,4a)≥eq \f(\r(5),2)，当且仅当b＝eq \r(5)a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得eq \f(ac,b)＋eq \f(c,ab)－eq \f(c