专题03 函数的概念与性质（知识点串讲）-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版）（串讲篇）

专题03 函数的概念与性质（知识点串讲） 知识网络 重难点突破 知识点一 函数的概念与分段函数 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. ①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； ②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； ③图象法：注意定义域对图象的影响. 例1.（河南省金太阳2020年高一期中联考）若函数 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【变式训练1-1】、（2012·全国高一课时练习）设集合 ， ，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2020·全国高一）已知函数 ，若 ，则实数 之值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点二 函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为 . 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数 (k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为 ； 当a<0时，二次函数的值域为 . 求二次函数的值域时，应掌握配方法： . (4)y＝sinx的值域为[−1,1]． 例2.若函数 的定义域是[0，4]，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) A． B． C． D． 例3．（2020·全国高一）设函数 ，满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． 例4．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数 的值域是 _____. 【变式训练4-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数 ， ，若 在 区间 上的最大值为3，则 _______． 知识点三 函数的单调性 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性