练习9 抛物线-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习9 抛物线 1．（2020秋•如皋市期中）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．则实数p值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可． 【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为． 可得+1＝，解得p＝． 故选：C． 2．（2020秋•镇江期中）抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线所围成的三角形面积为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】求出抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线方程，然后求解三角形的边长利用面积公式求出三角形的面积即可． 【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1， 双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线方程分别为：y＝2x，y＝﹣2x，x＝﹣1时，y＝±2， 因此，所求三角形面积等于＝2． 故选：B． 3．（2020秋•广陵区校级期中）过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝2上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A． B． C． D．9 【分析】设直线l方程为x＝my+2，联立方程组消元，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据根与系数的关系计算|y1﹣y2|，于是 S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|． 【解答】解：F（2，0），设直线l的方程为：x＝my+2， 联立方程组，消去x可得y2﹣8my﹣16＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣16， ∵线段AB的中点M在直线y＝2上，∴y1+y2＝4， ∴|y1﹣y2|＝＝＝4， ∴S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|＝4＝4． 故选：B． 4．（2020秋•如皋市月考）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则|MF|+|NF|＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设出M、N的坐标，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的性质推出|MF|+|NF|即可． 【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），过点（﹣2，0）且斜率为的直线方程为y＝（x+2）， 联立， 可得x2﹣5x+4＝0，x1+x2＝5， 则|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝5+2＝7． 故选：C． 5．（2020秋•镇江期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”，设直线l交抛物线y＝x2于A，B两点，若|OA|，|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”（O为坐标原点），则此直线l恒过定点（　　） A．（，0） B．（，0） C．（0，2） D．（0，4） 【分析】设直线l：y＝mx+b，代入抛物线x2＝4y，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论． 【解答】解：设直线l：y＝mx+b，（b≠0），代入抛物线x2＝4y，可得x2﹣4mx﹣4b＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4b， ∴x12x22＝16y1y2＝16b2，∴y1y2＝b2， ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0， 可得b2﹣4b＝0， ∵b≠0，∴b＝4，∴直线l：y＝mx+4， ∴直线l过定点（0，4）． 故选：D． 6．（多选）（2020秋•鼓楼区校级月考）已知直线l：2kx﹣2y﹣kp＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线的公共点是点M（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（　　） A．p＝2 B．k＝﹣2 C．AB＝5 D．△MAB的面积为5 【分析】根据M点横坐标和准线方程计算p，联立方程组消元，根据AB中点纵坐标为﹣1和根与系数的关系计算k，根据弦长公式计算AB，求出M到AB的距离，计算三角形MAB的面积． 【解答】解：∵M（﹣1，﹣1）在抛物线的准线x＝﹣上，∴﹣＝﹣1，即p＝2，故A正确； 由题意可知以AB为直径的圆与准线x＝﹣1相切，设AB的中点为D，则D点纵坐标为﹣1， 联立方程组，消去x可得y2﹣﹣4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝＝﹣2，∴k＝﹣2，故B正确； 又y1y2＝﹣4，∴|AB|＝•＝•＝5，故C正确； 直线AB的方程为：﹣4x﹣2y+4＝0，即2x+y﹣2＝0，∴M（﹣1，﹣1）到直线AB的距离d＝＝， ∴△MAB的面积为S＝＝＝，故D错误， 故选：ABC． 7．（多选）（2020秋•如皋市期中）已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，