专题04 圆锥曲线的方程、图像与性质（知识点串讲）-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版）（串讲篇）

专题04 圆锥曲线的方程、图像与性质 知识网络 重难点突破 知识点一 椭圆的方程与性质 1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c 离心率 e＝eq \f(c,a)，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 例1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　) A．5　　　　　　　　　 B．6 C．9 D．10 【变式训练1-1】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____． 【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____． 知识点二 直线与椭圆的位置关系 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a). 4．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0). 例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为eq \f(2\r(2),3)； (2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 【变式训练2-1】、已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、设 为椭圆C: 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则M的坐标为___________. 知识点三 双曲线的方程与性质 1、 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq \b\lc\