1.4生活中的优化问题-人教A版高中数学选修2-2课时练习

高二年级（数学）学科习题卷 生活中的优化问题 1.如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 2.今年某公司计划按200元/担的价格收购某种农产品，同时按要求以10%的税率纳税．现计划收购a万担，若将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)将税率作怎样的调整，才能使税收取得最大值(要求应用导数知识完成)? 3.将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，求断面的宽x. 4.某市在创建全国旅游城市的活动中，对一块以O为圆心，R(R为常数，单位：米)为半径的半圆形荒地进行治理改造，其中弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪，△OBD区域用于儿童乐园出租，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元． (1)设∠BOD＝θ(单位：弧度)，用θ表示弓形BCD的面积S弓＝f(θ)． (2)如果该市规划办邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出最大值． 答案解析： 1.设箱子的底边长为xcm(0<x<60)， 箱子容积V＝V(x)＝x2h＝(0<x<60). 因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值. 将x＝40代入V(x)， 得最大容积V＝402×＝16 000 (cm3). 所以箱子底边长取40 cm时，容积最大， 最大容积为16 000 cm3. 2. (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)． 依题意，得 y＝200a(1＋2x%)·(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x) ＝－ax2－ax＋20a. (2)由(1)，得y′＝－ax－a. 令y′＝0，解得x＝－20. 当x＝－20时，y取最大值．因此，只有将税率增加20个百分点，才能使税收取得最大值． 3.设断面高为h，则h2＝d2－x2. 横梁的强度函数f(x)＝k·xh2， 所以f(x)＝kx·(d2－x2)，0<x