必修1 1.1 集合及其运算-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

必修1 第 §1.1　集合及其运算 1.元素与集合的概念 一般地， 我们把研究对象统称为元素.通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示. 2. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A ；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A， 记作a∉A. 3.集合的三个基本特征 （1）确定性：对任何一个对象，它是不是某个集合的元素是确定的，且二者必居其一.确定性是判断一组对象能否构成集合的标准. （2）互异性：集合中的元素没有相同的，解题时这一点容易被忽视. （3）无序性：集合中的元素没有前后顺序. 4. 集合的表示法 （1）列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来并用 括号括起来表示集合的方法。 （2）描述法 ：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。格式为. （3）Venn图法：用一个封闭的曲线内部表示集合。 （4）符号法：（表示常用数集） 自然数集：N 正整数集：N*(或N＋) 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 典例1 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q={a＋b|a∈P，b∈Q} ，若P={0,2,5}，Q={1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析　当a=0时，a＋b=1,2,6； 当a=2时，a＋b=3,4,8； 当a=5时，a＋b=6,7,11. 由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素． 答案　B 5.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合，如，{1,2,3,4}. （2）无限集：含有无限个元素的集合，如自然数集N. （3）空集：不含任何元素的集合，记作 ∅. 6.集合间的基本关系 （1）子集 定义：集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B). 符号表示：A⊆B(或B⊇A) Venn图表示： （2）真子集 定义：集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中. 符号表示：AB或BA. Venn图表示： （3）集合相等 定义：集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集. 符号语言：A=B Venn图表示： （4） 集合子集的个数 ①空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集; ②有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1； ③子集具有传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 典例2 已知集合A={x|x2－5x－14≤0}，集合B={x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A ，则实数m的取值范围为________. 解析　A={x|x2－5x－14≤0}={x|－2≤x≤7}. 当B=∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图. 则 解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]. 答案　(－∞，4] 方法归纳 已知两个集合间的关系求参数的解题模型 将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解，应用数轴的时候要注意区间端点是否能取到. 7.集合的基本运算 （1）交集 定义：集合的基本运算. 符号表示：A∩B={x|x∈A且x∈B} （2）并集 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合. 符号表示：A∪B={x|x∈A或x∈B} （3）补集 定义：由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合. 符号表示：∁UA={x|x∈U且x∉A} （4）集合的运算性质 ①A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. ②A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. ③A∩(∁UA)=∅，A∪(∁UA)=U，∁U(∁UA)=A. 典例3 设集合A={0，－4}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0，x∈R}．若A∩B=B ，则实数a的取值范围是______． 解析　因为A={0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况： ①当B=A时，B={0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0的两个根，由根与系数的关系，得 解得a=1； ②当B≠∅且B(A时，B={0}或B={－4}， 并且Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)=0， 解得a=－1，此时B={0}满足题意； ③当B=∅时，Δ=4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案　(－∞，－1]∪{1} 方法归纳 含有参数的集合运算问题模型 求解的关键点： （1） 求值检验：由给定的集合运算结果往往可直接求得参数的值，但需要注意及时检验分析。具体问题中一般要根据集合中元素的互异性及题