必修1 1.2 函数及其表示-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§1.2　函数及其表示 　1.函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 ，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y=f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 2.求函数定义域的方法 （1）求给定函数定义域的方法 ①)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； ②若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； ③若f(x)是指数幂，则底数大于0且不等于1； ④若f(x)是对数函数，则底数大于0且不等于1，真数大于0； ⑤若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； ⑥若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． (2)求抽象函数的定义域 ①若y=f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域； ②若y=f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 3.求函数值域的方法 典例1 求下列函数的值域： (1)y=3x2－x＋2，x∈[1，3]； (2)y=； (3)y=x＋4； (4)y=. 解　(1)因为y=3x2－x＋2=3 ， 2＋ 所以函数y=3x2－x＋2在[1,3]上单调递增． 当x=1时，原函数取得最小值4； 当x=3时，原函数取得最大值26. 所以函数y=3x2－x＋2(x∈[1,3])的值域为[4,26]． (2)y= ， =3＋= 因为≠3， ≠0，所以3＋ 所以函数y=的值域为{y|y≠3}． (3)设t=，t≥0，则x=1－t2 ， 所以原函数可化为y=1－t2＋4t=－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5， 所以原函数的值域为(－∞，5]． (4)y== =x＋， ＋＋=x－ 因为x>>0， ，所以x－ 所以x－ ， =≥2＋ 当且仅当x－时取等号． ，即x== 所以y≥.，即原函数的值域为＋ 方法归纳 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解． 4.函数相等 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 5.函数的区间 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半闭半开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞ ) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 6.函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势． （3）列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 7.函数解析式的求解方法 典例2 （1） 若f，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　) = A.－1 D. C. B. 解析　f(x)=(x≠0且x≠1)． = 答案　B （2） 已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x＋1)－f(x)=x－1，则f(x)=________. 解析　设f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)=2，得c=2， f(x＋1)－f(x)=a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2=x－1，即2ax＋a＋b=x－1， ∴即 ∴f(x)=x＋2.x2－ 答案　x＋2x2－ （3） 定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)=lg(x＋1)，则f(x)=________________. 解析　当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)=lg(x＋1)．① 将x换成－x，则－x换成x，得 2f(－x)－f(x)=lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x) 得，f(x)=lg(1－x)(－1<x<1)． lg(x＋1)＋ 答案　lg(1－x)(－1<x<1)lg(x＋1)＋ 方法归纳 函数解析式的求法 (1