必修1 1.3 函数的基本性质-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§1.3　函数的基本性质 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间． 知识拓展 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性． (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 ， 有以下几个特征：一是任意性，即任意取 ， ，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 < ；三是属于同一个单调区间． (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f( )<f( )⇔ < （ > )． (4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． （3）函数单调性的常用性质 ①f(x)恒不为0，y=f(x)与y= 的单调性相反. ②y=f(x)与y=kf(x) 当k>0时，单调性相同； 当k<0时，单调性相反. ③若f(x)（其中f(x)>0）在某个区间上为增函数，则 , （n>1)也是增函数 ④在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 ⑤当f(x)，g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减（增）函数. ⑥复合函数的单调性 对于复合函数y=f（g（x））,若称t=g（x）为内层函数，y=f（t）为外层函数，则复合函数的单调性符合下表 外层函数y=f（t）的单调性 内层函数t=g（x）的单调性 函数y=f（g（x））的暗调性 增 增 增 减 减 减 增 减 减 增 即复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.在求复合函数的单调区间时应首先求出函数的定义域. 典例1 判断并证明函数f(x)=ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 解　函数f(x)=ax2＋(1<a<3)在[1,2]上单调递增． 证明：设1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)=ax－－ax＋ =(x2－x1)， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－. <－ 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 方法归纳 确定函数单调性的方法 (1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接． (4)具有单调性函数的加减． 典例2 （1） 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称 ，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a=f，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a=f<3，所以b>a>c.，且2<=f 答案　D (2)已知函数f(x)=ln x＋2x ，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________． 解析　因为函数f(x)=ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)=ln 1＋2=2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－.<x<－2或2<x< 答案　(－) ，－2)∪(2， （3）已知函数f(x)=若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 解析　由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又y=ax－a