必修1 2.1 指数函数-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

第 §2.1　指数函数 1.n次方根、n次根式 (1)a的n次方根的定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2.根式的性质 (1) =0(n∈N*，且n>1)； (2)( )n=a(n∈N*，且n>1)； (3 =a(n为大于1的奇数)； (4) =|a|=(n为大于1的偶数)． 3.分数指数幂的定义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： = (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4.有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras=ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5.　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 典例1 （1）计算： ＋0.002 －10(－2)－1＋π0= . 解析　原式= ＋ － ＋1 = ＋10－10 －20＋1=－. 答案　－ （2）化简： = (a>0)． 解析　原式= 答案　a2 方法归纳 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 6.　一般地，函数y= (a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.. 7.指数函数的图象和性质 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 典例2 (1)函数f(x)=ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析　由f(x)=ax－b的图象可以观察出，函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)=ax－b的图象是在y=ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 答案　D (2)已知函数f(x)=|2x－1| ，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析　∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知， 0<f(a)<1，a<0，c>0， ∴0<2a<1. ∴f(a)=|2a－1|=1－2a<1， ∴f(c)<1，∴0<c<1. ∴1<2c<2，∴f(c)=|2c－1|=2c－1， 又∵f(a)>f(c)， ∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D. 答案　D 方法归纳 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 典例3 (1)已知a= ，b= ，c= ，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析　由a15=(2 )15=220，b15=(2 )15=212，c15=255>220，可知b15<a15<c15，所以b<a<c. 答案　A （2）若偶函数f(x)满足f(x)=2x－4(x≥0) ，则不等式f(x－2)>0的解集为 ． 解析　∵f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)=f(－x)=2－x－4， ∴f(x)= 当f(x－2)>0时，有或 解得x>4或x<0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 答案　{x|x>4或x<0} (3)已知函数f(x)=2|2x－m|(m为常数)，若f(x)