必修1 2.2 对数函数-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§2.2　对数函数 1.对数的概念、性质与对数恒等式 （1）概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）性质：1的对数为零；底的对数为1；零和负数没有对数. （3）对数恒等式：① = N ；②logaaN= N (a>0，且a≠1)． （4）对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax=N⇔logaN=x. 2.常用对数和自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN. 3.对数的运算法则 （1）loga(MN)=logaM＋logaN； （2）loga=logaM－logaN； （3）logaMn=nlogaM (n∈R)． 4.换底公式 （1）logab=； （2）logab·logba=1； （3） =logab.(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0；m,n∈N*) 典例1 （1）设2a=5b=m，且 ＋ =2，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 解析　由已知，得a=log2m，b=log5m ， 则 ＋ = =logm2＋logm5=logm10=2. 解得m=. 答案　A （2）计算： = . 解析　原式= = ==1. == 答案　1 方法归纳 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 5.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0)，即x=1时，y=0 (4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 6.反函数及其性质 一般地，像y=ax与y=logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数． (1)y=ax的定义域R就是y=logax的值域；而y=ax的值域(0，＋∞)就是y=logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y=ax(a＞0，且a≠1)与y=logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称． (3)互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同． 典例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=ln(x＋1) ，则函数f(x)的大致图象为(　　) 解析　先作出当x≥0时，f(x)=ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示． 答案　C (2)当0<x≤时，4x<logax ，则a的取值范围是(　　) A. B. C．(1，，2) ) D．( 解析　由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax ， 即当0<x≤ 时，时，函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方．又当x==2，即函数y=4x的图象过点<a<1(如图所示)． .若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方，则需代入y=logax，得a=.把点 当a>1时，不符合题意，舍去． 所以实数a的取值范围是. 答案　B 方法归纳 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 典例3 设a=log412，b=log515，c=log618，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a 解析　a=1＋log43，b=1＋log53，c=1＋log63 ， ∵log43>log53>log63，∴a>b>c. 答案　A 方法归纳 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小． 典例4 已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是 ． 解析　原不等式⇔① 或② 解不等式组①