必修1 2.3 幂函数-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§2.3　幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 3.　一般幂函数的图象特征 一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称； (5)在第一象限，作直线x=a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 典例 （1） 已知幂函数f(x)=(n2＋2n－2) EMBED Equation.DSMT4 (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2=1，解得n=1或n=－3，经检验只有n=1符合题意，故选B. 答案　B （2）若(a＋1) <(3－2a) ， 则实数a的取值范围是____________． 答案　(－∞，－1)∪ 方法归纳 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． n2＋2n－2=1，再检验 a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a $$