必修1 3.1　函数与方程-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

第 §3.1　函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线 ，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根． 2．二次函数y=ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 4.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)=0，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c)； ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b)． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 典例 1 函数f(x)=ln x－ 的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 解析　函数f(x)=ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)=ln 2－2<0，f(3)=ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)． 答案　B 典例2 函数f(x)=|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y=|x－2|(x>0)，y=ln x(x>0)的图象，如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 答案　C 方法归纳 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点． (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． (3)利用函数图象的交点个数判断． 典例3 （1）若函数f(x)=x2－ax＋1在区间 上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D 解析　由题意知方程ax=x2＋1在 上有实数解， 即a=x＋在 EMBED Equation.KSEE3 上有解，设t=x＋ ，x∈，则t的取值范围是 .所以实数a的取值范围是 . 答案　D （2）若函数f(x)=(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是 ． 解析　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知 ，m需满足 即 解得. <m< 答案　 方法归纳 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 函数f(x)的图象连续不断，不能得到函数f(x)只有一个零点 定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断 在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续 转化思想，将零点个数问题转化为图像焦点的问题 分离参数 数形结合 $$