必修2 1.3　空间几何体的表面积与体积-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§1.3　空间几何体的表面积与体积 1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积 和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积=S侧＋2S底 V=Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积=S侧＋S底 V=Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积=S侧＋S上＋S下 V=)h(S上＋S下＋ 球 S=4πR2 V=πR3 典例1 （1）(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析　设圆柱的轴截面的边长为x， 则由x2=8，得x=2， ∴S圆柱表=2S底＋S侧=2×π×(=12π.故选B. ×2)2＋2π× 答案　B （2）下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为(　　) A．4＋4 ＋2 B．4＋2 C．2＋4 ＋2 D．8＋4 解析　该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD， 则其表面积为四个面面积之和S=2× ＋＋2.答案　A＋2)2=4×(2×2×2＋ 方法归纳 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． 典例2 （1） (2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析　方法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示． 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的=63π.故选B. ，所以该几何体的体积V=π×32×4＋π×32×6× 方法二　(估值法)由题意知，V圆柱<V几何体<V圆柱，又V圆柱=π×32×10=90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. 答案　B （2） 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　) A．3 B. C．1 D. 解析　如题图，因为△ABC是正三角形， 且D为BC中点，则AD⊥BC. 又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC， 故BB1⊥AD，且BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1， 所以AD是三棱锥A－B1DC1的高． 所以 = ·AD ==1. ×× 答案　C 方法归纳 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)直接利用公式进行求解． (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图． 典例3 (2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析　由等边△ABC的面积为9， AB2=9，可得 所以AB=6， 所以等边△ABC的外接圆的半径为r=. AB=2 设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d==2. = 所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4=6， 所以三棱锥D－ABC体积的最大值为.×6=18×9 答案　B 方法归纳 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心． (2)“接”的处理 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解 该几何体为三棱锥 补形法 $$