必修2 2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

第 §2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面 （1）平面的概念 ①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义． ②几何中的平面的特征： （2）平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来 （3）平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 2.平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 典例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点． 方法归纳 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 3.　点、线、面的位置关系 （1）点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m=A l，α相交于A l∩α=A α，β相交于l α∩β=l （2）空间两条直线的位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： ②从是否共面的角度来分： 典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E=2ED，CF=2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 解析　连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E=2ED，可得M为AD的中点， 连接BF并延长，交AD于点N，因为CF=2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且，所以EF∥BD1.=，所以=，= 答案　D 方法归纳 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决． （3）直线l与平面α的位置关系 ①直线l在平面α内(l⊂α)． ②直线l在平面α外(l⊄α) （4）两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β=l 无数个点(共线) 4.平行公理和空间等角定理 （1）平行公理（公理4） ①文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②符号表示：⇒a∥c. （2）空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 4.异面直线 （1）异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线． （2）异面直线的画法 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． （3）异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成