必修2 2.2　直线、平面平行的判定及其性质-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§2.2　直线、平面平行的判定及其性质 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ⇒l∥b 典例1 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA=AB=1. 证明：EF∥平面PDC. 证明　取PC的中点M，连接DM，MF， ∵M，F分别是PC，PB的中点， ∴MF∥CB，MF=CB， ∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形， ∴DE∥CB，DE=CB， ∴MF∥DE，MF=DE，∴四边形DEFM为平行四边形， ∴EF∥DM， ∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC， ∴EF∥平面PDC. 方法归纳 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 典例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： 平面EFA1∥平面BCHG. 证明　∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1=AB， ∴A1G∥EB，A1G=EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. 又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 方法归纳 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 3.线线平行、线面平行、面面平行间的关系 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 典例3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． 求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； 证明 　∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB， ∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH. 方法归纳 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决． 简记为“线线平行⇒线面平行” 简记为“线面平行⇒线线平行” 简记为“线面平行⇒面面平行” 两平面平行的其他性质 性质1：如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。 性质2：如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 $$