必修2 2.3　直线、平面垂直的判定及其性质-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§2.3　直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 典例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF=2时，证明：B1F⊥平面ADF. 证明　因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC， 所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B=B，BC，B1B⊂平面B1BCC1， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F⊂平面B1BCC1， 所以AD⊥B1F.　在矩形B1BCC1中， 因为C1F=CD=1，B1C1=CF=2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD=∠C1B1F， 所以∠B1FD=90°，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD=D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF. 方法归纳 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质． 3.二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　 (4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. 典例2 如图，在四棱锥A－BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC=2，AB=4，∠ABC=60°.若直线CE与平面ABC所成的角为45°，求二面角E－AB－C的余弦值． 解 因为直线CE与平面ABC所成的角为45°，平面BCDE⊥平面ABC， 平面BCDE∩平面ABC=BC， 所以∠BCE=45°，所以△EBC为等腰直角三角形． 取BC的中点F，连接EF，过点F作FG⊥AB于点G，连接EG， 则∠EGF为二面角E－AB－C的平面角． 易得EF=BF=1，FG=. 在Rt△EFG中，由勾股定理，得EG=， = 所以cos∠EGF=， = 所以二面角E－AB－C的余弦值为. 方法归纳 二面角的求解方法（几何法） 二面角的范围在课本中没有给出，一般是指 ，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；边是最常用的方法. ③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4.平面与平面垂直 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）画法： （3）记作：α⊥β. （4）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α （5）垂直问题的转化 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题． 典例3 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. 证明：平面ACD⊥平面ABC. 证明　由已知可得，∠BAC=90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC=A，AD，AC⊂平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC. 5.三垂线定理及