必修2 3.2　直线的方程-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§3.2　直线的方程 1.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0=k(x－x0) 不含直线x=x0 斜截式 y=kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x=x1 和直线y=y1 截距 式 =1＋ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C=0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 典例1 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的 ； (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y=3x的斜率的－； (3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6=0相交于B点且|AB|=5. 解　(1)　设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a=0，即l过点(0,0)和(3,2)， ∴l的方程为y=x，即2x－3y=0. 若a≠0，则设l的方程为=1 ， ＋ ∵l过点(3,2)，∴=1， ＋ ∴a=5，∴l的方程为x＋y－5=0， 综上可知，直线l的方程为2x－3y=0或x＋y－5=0. (2)设所求直线的斜率为k，依题意 k=－. ×3=－ 又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋3=－(x＋1)， 即3x＋4y＋15=0. (3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x=1. 解方程组 求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|=5，即x=1为所求． 设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1=k (x－1)， 解方程组 得两直线交点为 则B点坐标为 . 由已知 =52 ， 解得k=－(x－1)， ，∴y＋1=－ 即3x＋4y＋1=0. 综上可知，所求直线的方程为x=1或3x＋4y＋1=0. 方法归纳 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 2. 直线的垂直与平行 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1=k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ③一般表达式：若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0（ 不同时为0）与l2：A2x＋B2y＋C2=0（ 不同时为0）平行，则有：A1B2－A2B=0；B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0. ⑵两条直线垂直： ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔k1·k2=－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. ③一般表达式：若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0（ 不同时为0）与l2：A2x＋B2y＋C2=0（ 不同时为0）垂直，则有：A1A2＋B1B2=0（当B1B2≠0时，记为： ） 典例2 已知直线l1：ax＋2y＋6=0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1=0. (1)试判断l1与l2是否平行； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 解　(1)　当a=1时 ，l1：x＋2y＋6=0， l2：x=0，l1不平行于l2； 当a=0时，l1：y=－3， l2：x－y－1=0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y=－x－3， l2：y=x－(a＋1)， l1∥l2⇔解得a=－1， 综上可知，当a=－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行． (2)　由A1A2＋B1B2=0 ，得a＋2(a－1)=0， 可得a=. 方法归纳 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 3.直线系方程 （1）过定点（ ， ）的直线系方程： （A,B不同时为0）. （2）过直线 ： （ 不同时为0）与 ： （ 不同时为0）交点的直线系方程为： （ ， 为参数）. 典例3求经过直线l1：3x＋2y－1=0和l2：5x＋2y＋1=0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6=0的直线l的方程． 解　　设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)=0， 整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)=0. 由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)=0，解得λ=， 所以直线l的方程为5x＋3y－1=0. （3） 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0（λ≠C）,λ是参变量. （4）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0（λ≠C）,λ是参变量. （5）利用直线系方程证明过定点问题 对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直