必修2 3.3　直线的交点坐标与距离公式-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§3.3　直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 下表中直线l1：A1x＋B1y＋C1=0（ 不同时为0）与l2：A2x＋B2y＋C2=0（ 不同时为0）. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 2.距离公式 （1）两点间的距离公式 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|= . （2） 点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C=0的距离 d=. （3）两条平行线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=. 典例1 若P，Q分别为直线3x＋4y－12=0与6x＋8y＋5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. D. C. B. 解析　因为. ，所以|PQ|的最小值为=， 所以两直线平行，将直线3x＋4y－12=0化为6x＋8y－24=0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即≠= 答案　C 典例2 已知直线l：x-2y+8=0和两点A（2，0），B（-2，-4）． （1）在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小； （2）在直线l上求一点P，使||PB|-|PA||最大． 解 通过找A关于l的对称点A′，连接A′B交l于P，得到使距离和最小的点P ；通过连接AB，得到直线AB与l的交点P，即为使差绝对值最大的点． （1）由直线l的方程x-2y+8=0可知 直线l斜率为 ，过点（-8，0），（0，4） 结合图形易知点A关于直线l的对称点A′（-2，8） 连接A′B交直线l于P（-2，3）， 使得|PA|+|PB|最小． （2）连接AB，直线AB交直线l与P， 使得||PA|-|PB||最大． 利用A，B两点可得直线AB 的方程为y=x-2， 与直线l的方程联立解得P点坐标为（12，10）. 3.对称问题 （1）点关于点对称 点P(a，b)关于点M(x0，y0)的对称点为P′(2x0－a,2y0－b)． （2）直线关于点对称 直线l：Ax＋By＋C=0关于点M(x0，y0)的对称直线l′的方程是A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C=0. （3）点关于直线对称 求点P(a，b)关于直线l：Ax＋By＋C=0的对称点P′(a′，b′)，要抓住其两个几何特征：①PP′⊥l；②PP′的中点在l上， 即由方程组解出a′，b′. 但较特殊的对称情况可直接写出结果： ①P(a，b)关于x轴的对称点P′(a，－b)； ②P(a，b)关于y轴的对称点P′(－a，b)； ③P(a，b)关于直线x=x0的对称点P′(2x0－a，b)； ④P(a，b)关于直线y=y0的对称点P′(a,2y0－b)； ⑤P(a，b)关于直线x＋y＋c=0的对称点P′(－b－c，－a－c)； ⑥P(a，b)关于直线x－y＋c=0的对称点P′(b－c，a＋c)． （4）直线关于直线对称 求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程可以按以下方法求解： ①在l1上任取相异两点P1，P2，求出P1，P2关于直线l的对称点P1′，P2′，再由P1′，P2′的坐标写出直线l2的方程． ②任取l2上一点P(x，y)，用x，y表示出点P关于直线l的对称点P′的坐标(x′，y′)，再将(x′，y′)代入直线l1的方程整理可得l2的方程． 典例3 已知直线l1：2x＋y－4=0，求l1关于直线l：3x＋4y－1=0对称的直线l2的方程． 解　设直线l2上任一动点为M(x，y)，它关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则 解得x0=. ，y0= 由M′(x0，y0)在直线l1上， 故2·－4=0， ＋ 化简为2x＋11y＋16=0，这就是直线l2的方程． (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|=|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|=|y2－y1|. 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|=�eq \r(x2＋y2)��. 点P(x0，y0)到x轴的距离为|y0|；到y轴的距离为|x0|；到直线x=a的距离d=|x0－a|，到直线y=b的距离d=|y0－b|. 应用时将方程化为最简的一般形式 应用时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等 两直线平行一般式的判定方法 两点之间线段最短 点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标 设对称直线l′上任一点为P(x，y)，则P关于点M(x0，y0)的对称点为P(2x0－x,2y0－y)，而点P在直线l上，故将P的坐标(2x0－x,2y0－y)代入Ax＋By＋C=0得A(2x0－x)＋B(2y0