必修2 4.1　圆的方程-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

第 §4.1　圆的方程 1. 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2. 圆的标准方程 (1)把方程(x－a)2＋(y－b)2=r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程． (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2=r2. 3.圆的一般方程 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F=0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以 为圆心，以为半径的圆 4.几种特殊位置的圆的方程 条件 标准方程 一般方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2=a2+b2 x2＋y2+F=0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2=r2 x2＋y2＋Dx＋Ey=0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2=r2 x2＋y2＋Ey＋F=0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（E≠0，D2－4F=0） 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D≠0，E2－4F=0） 与x、y轴都相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2（|a|=|b|≠0） x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（|D|=|E|≠0,D2－4F=0） 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2=a2 x2＋y2＋Dx=0 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2=b2 x2＋y2＋Ey=0 典例1 已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　) A. ＋y2= B＋y2= C. ＋y2= D＋y2= 答案　C 解析　方法一(待定系数法) 设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F>0)， 则由题意得解得 所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1=0， 即 ＋y2=. 方法二 　 因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)， 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－=2(x－1)上． 又圆E的圆心在x轴的正半轴上， 所以圆E的圆心坐标为. 则圆E的半径为|EB|= =， 所以圆E的标准方程为 ＋y2=. 方法归纳 确定圆的方程的方法 （1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． （2）待定系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程． ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． ③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 5.圆系方程 （1）以 为圆心的同心圆系方程： EMBED Equation.DSMT4 　 与圆 ＋ ＋ ＋Ｆ=０同心的圆系方程为： ＋ ＋ ＋ =０ （2）过直线 ＋ ＋Ｃ=０与圆 ＋ ＋ ＋Ｆ=０交点的圆系方程为： ＋ ＋ ＋Ｆ＋ （ ＋ ＋Ｃ）=０（ EMBED Equation.3 Ｒ） （3）过两圆 : ＋ =0， : ＋ =０交点的圆系方程为： ＋ ＋ （ ＋ ）=0（ ≠-１ ，此圆系不含 : ＋ =０） 典例2 求经过两圆 ＋3 － －2=０和 ＋2 ＋ ＋１=０交点和坐标原点的圆的方程． 解 由题可设所求圆的方程为： （ ＋3 － －2）＋ （ ＋2 ＋ ＋１）=０ ∵　（0，0）在所求的圆上，∴　有－2＋ =０．　从而 =２ 故所求的圆的方程为： 即　 ＋7 ＋ =０。 6.圆的轨迹问题 （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程． （3）几何法：利用圆的几何性质列方程． （4）相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 典例3 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解　(1)　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆 ． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2=4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x=， ，y= 所以x0=2x－3，y0=2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2=4(y≠0)， 将x0=2x－3，y0=2y代入得(2x－4)2＋(2y)2=4， 即(x－2)2＋y2=1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2=1(y≠0)． 7.与圆有关的最值问题 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点(x，y