必修2 4.2　直线、圆的位置关系-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§4.2　直线、圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0－a)2＋(y0－b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 2.直线Ax＋By＋C=0与圆(x－a)2＋(y－b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 典例1 （1） 在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C=0 ，则圆C：x2＋y2=1与直线l：ax＋by＋c=0的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析　因为asin A＋bsin B－csin C=0， 所以由正弦定理得a2＋b2－c2=0. 故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c=0的距离d==1=r，故圆C：x2＋y2=1与直线l：ax＋by＋c=0相切，故选A. 答案　A （2）若a2＋b2=2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c=0被圆x2＋y2=1所截得的弦长为(　　) A. D. B．1 C. 解析　因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c=0的距离d= ，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于===.，所以弦长为 答案　D （3） 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2=10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l1：x＋y－4=0平行； (2)与直线l2：x－2y＋4=0垂直； (3)过切点A(4，－1)． 解　(1)设切线方程为x＋y＋b=0， 则， ，∴b=1±2= ∴切线方程为x＋y＋1±2=0. (2)设切线方程为2x＋y＋m=0， 则， ，∴m=±5= ∴切线方程为2x＋y±5=0. (3)∵kAC=， = ∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1=－3(x－4)， 即3x＋y－11=0. 方法归纳 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d与r的关系． ②代数法：联立方程之后利用Δ判断． ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 3.圆与圆的位置关系 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2=r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2=r， 则圆心距d=|C1C2|= . 两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d=|r1－r2| d=r1＋r2 图示 (2)用代数法判断圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0， 将方程联立 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交； ②判别式Δ=0时，C1与C2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C1与C2外离或内含． 典例2 （1） 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12=0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k=0相交和相切． 解　将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x＋2)2＋(y－3)2=1，C2：(x－1)2＋(y－7)2=50－k， 则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1=1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2=，k<50. 从而|C1C2|==5. 当|<6， ＋1，即4<－1|<5< 即14<k<34时，两圆相交． 当1＋=5，即k=34时，两圆外切； 当|－1|=5，即k=14时，两圆内切． 所以当k=14或k=34时，两圆相切． （2）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1=0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45=0. (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解(1)证明　由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2=1