专题12 构造函数-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

专题五 函数与导数之构造函数 【方法归纳】 1.，构造； ，构造； 2.，构造； ，构造； 3.，构造； ，构造． 4.，构造． ，构造， 5.，构造. ，构造， 6.，构造. ，构造， 7. ，构造. ，构造 8.，构造. ，构造 探究一 直接法构造函数 【例1-1】定义域为R的函数满足，且的导函数，则满足的x的集合为 . 【答案】 【解析】令，则因此：在R上单调递增 即： 【例1-2】设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 。 【答案】 【解析】设,则， 由当时，，则函数在为增函数， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则在上为奇函数，则函数在为增函数， 又，所以，则， 则的解集为，即不等式的解集是， 归纳总结： 探究二 与幂函数（）型 【例2-1】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 。 【答案】 【解析】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数， 当时，， 又由当时，，则，则函数在上为减函数， ，（2），， 且，则有； 【例2-2】已知定义在上的函数是奇函数，且，当时,有，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】设，因为是上的奇函数，则是上的偶函数，且，又因为当时，，所以在上是单调递减的，根据题意画出的草图，解得当和时，；当和时，；则不等式的解集为：或， 探究三 与指数函数（）型 【例3-1】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则 . A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则 由，所以 故函数为上的单调递增，所以 故即故选：B 【例3-2】定义在上的函数,其导函数为,且,,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设 又 则,可得是定义在的减函数. 又, 可化简为:,即 归纳总结： 探究四 构造对数函数 【例4】设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【解析】构造函数，令，则， 由可得， 则是区间上的单调递减函数， 且， 当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0 ∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0. 综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是. 归纳总结： 探究五 构造三角函数型 【例5】设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时，，所以在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为．故选C． 探究六 反向求解 【例6】设定义在上的函数满足，且，则下列结论正确是（） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值 D．在上有最小值 答案：C． 解析：由，得． 可设，又，则，则， ， ∴在上递增，在上递减， ∴在上有最大值． 【课后作业】 ．若的定义域为，恒成立，，则解集为（） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】令，恒成立，即在定义域上单调递增． 又，则，即．故本题答案选． 2.已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】令，∴。 ∵，为偶函数 ∴在上单调递减． 或，选A． 3.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D． 【解析】令，则为奇函数，且当时，恒成立，即函数在，上单调递减，又，则，则可化为或，则或．故选D． 4.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】构造函数，； 时，∵，∴，∴在上单调递增， ∵， ∴，∴， ∴解得：． 故选D． 5.定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】设，则，在上递减， ∴，即，化为，故选A． 6.已知定义在上的函数，，满足：，，且．若且，则有：（） A． B． C． D． 答案：D． 解析：构造函数，则． ∵，∴， 即为减函数． 又当且时，