专题11 导数的运用-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

3.2导数的运用 【学习目标】 1．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 【要点整合】 一、导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a，b)内： （1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. （3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值 一般地，对于函数y=f (x)， （1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值. （2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是： 【典例讲练】 题型一 利用导数研究函数的单调性 【例1-1】若，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确，B错误. ②令，则，令，则， 当时，；当时，，∴在上单调递增， 在上单调递减，易知C，D不正确. 【例1-2】已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【解析】由题意得：的定义域为， （i）当时，，则， 当时，；当时，， 的单调递增区间为：. （ii）. ①当时，在上恒成立， 在上单调递增，可知满足题意； ②当时，， 当时，；当时，， 在上单调递减；在上单调递增，不满足题意. 综上所述：. 归纳总结：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)； （2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号； （3）作出结论，时为增函数，时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 【练习1-1】已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直. (1)求实数a，b的值； (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围. 解　(i)∵函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.① f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.由条件f′(1)·＝－1，即3a＋2b＝9.② 由①②解得a＝1，b＝3. (ii)f(x)＝x3＋3x2，则f′(x)＝3x2＋6x. 令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2. ∵函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增， ∴[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m≥0或m＋1≤－2，∴m≥0或m≤－3. 【练习1-2】已知函数. （1