专题10 导数的概念及运算-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

3.1导数的概念及运算 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 【要点整合】 1.平均变化率 函数从到的平均变化率为， 若，，则平均变化率可表示为. 2.瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数. 3.瞬时变化率 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 5.导函数的概念 如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即. 6.导函数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 7.常见基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 8.导数的运算法则 法则1：. 法则2：. 法则3：. 9. 复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 10. 求切线的具体步骤 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 【典例讲练】 题型一 导数的计算 【例1-1】求下列函数的导函数： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）∵，∴； （2）由题得，则. （3）. （4）. 【例1-2】f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ . 答案　1 解析　f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x， 由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 【例1-3】(1)y＝(1＋cos 2x)3； (2)y＝sin2 ； 解　(1)y＝(1＋cos 2x)3＝(2cos2x)3＝8cos6x y′＝48cos5x·(cos x)′＝48cos5x·(－sin x)， ＝－48sin xcos5x. (2)令y＝u2，u＝sin ，再令u＝sin v，v＝， ∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin v)′·′ ＝2u·cos v·＝2sin ·cos ·＝－·sin . 归纳总结： 【练习1-1】若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ . 答案　－4 解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 【练习1-2】函数的导数是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，， 其导数， 故选C． 【练习1-3】求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝； 解　(1)设u＝2x＋1，则y＝u5， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x＋1)4. (2)设u＝1－3x，则y＝u－4， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4u－5·(