专题08 函数与方程-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.8函数与方程 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系. 2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法． 【要点整合】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 【典例讲练】 题型一 函数零点所在区间的判定 【例1-1】函数的零点所在的区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知函数的图象是连续的，且通过计算可得，，，， ， 由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为. 本题选择D选项. 【例1-2】在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________. 【答案】 【解析】令， ，，， 故下一步可以断定根所在区间为. 故填. 归纳总结：(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间[a，b]上是连续的，当 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点． (2)方程法：判断方程是否有实数解． (3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【练习1-1】已知函数的零点在区间内，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知f(x)单调，故即解得. 故选B． 【练习1-2】已知函数． （1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解； （2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x∈[0，2]的实数解x0在哪个较小的区间内． 【答案】． 【解析】取，得， 由此可得， 则下一个有解区间为， 再取，得， 由此可得， 则下一个有解区间为， 综上所述，所求实数解在较小区间内. 题型二 函数零点个数的判断 【例2-1】函数f(x)＝的零点个数是 ． 答案　2 解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. 【例2-2】函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 归纳总结： 【练习2-1】函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内(　　) A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 答案　B 解析　当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B. 【练习2-2】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　g(x)＝f(1－x)－1 ＝ ＝ 易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C. 题型三 函数零点的应用 【例3-1】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则k的取值范围是___