专题07 函数的图象-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.7函数的图像 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 【要点整合】 1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)y＝f(ax)． ②y＝f(x)y＝af(x)． (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 【典例讲练】 题型一 作函数的图象 【例1-1】分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg(x－1)|； (2)y＝2x＋1－1； (3)y＝x2－|x|－2； (4)y＝. 解　(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示． (3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示． (4)∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示． 【例1-2】下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案　C 归纳总结： 【练习1-1】画出函数y＝lg|x－1|的图象. 解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图). (2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图). (3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图). 题型二 函数图象的辨识 【例2-1】函数y＝的图象大致是(　　) 答案　D 解析　从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D. 【例2-2】设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)| C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|) 答案　C 解析　题图中是函数y＝－2－|x|的图象， 即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C. 归纳总结：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 【练习2-1】函数y＝的部分图象大致为(　　) 答案　D 解析　令f(x)＝，则f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C.当x>1时，y＝＝，显然y>0且函数单调递减，故D正确． 【练习2-2】函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝在同一直角坐标系下的图象大致是(　　) 答案　B 解析　因为函数g(x)＝为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A，D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，故选B. 题型三 函数图象的应用 【例3-1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案　C 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减． 【例3-2】函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为 ． 答案　∪ 解析　当x∈时，y＝cos x>0. 当x∈时，y＝cos x<0. 结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知， 当1<x<时，<0.又函数y＝为偶函数， 所以在[－4,0]上，<0的解