专题06 对数与对数函数-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.6对数与对数函数 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用. 2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 【要点整合】 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． (4)换底公式的变形及推广： ； ； (其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【典例讲练】 题型一 对数的化简与求值 【例1-1】化简：（）； （）． 【答案】（1）5；（2）3. 【解析】（） ． （） ． 【例1-2】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 答案　A 解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝. 归纳总结： （1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性． （2）注意利用等式. 【练习1-1】计算：＝ . 答案　1 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 【练习1-2】已知函数,若,则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意有，解得. 故选D． 题型二 对数函数图像 【例2-1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　) 答案　C 解析　先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示． 【例2-2】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即方程|log0.5x|＝x的解的个数，即函数y＝|log0.5x|与函数y＝x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． 归纳总结： 1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标. 2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 【练习2-1】函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C. 【练习2-2】已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ． 答案　(1，＋∞) 解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距． 由图可知，当a