专题05 指数与指数函数-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.5指数与指数函数 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【要点整合】 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下， 根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1). 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域 形如的函数的定义域就是的定义域． 求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论． 求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域． (2)判断复合函数的单调性 令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性． 【典例讲练】 题型一 指数幂的运算 【例1-1】若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．＝ 答案　D 解析　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确． 【例1-2】化简：＝ (a>0)． 答案　a2 解析　原式＝ 归纳总结： 【练习1-1】 【答案】解：原式 ． 【练习1-2】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断． 【答案】解：对于，由有意义可知，而当时，无意义，故错误； 对于，当时，，而无意义，故错误； 对于，，故错误． 对于，．故正确． 故选：． 题型二 指数函数的图象及应用 【例2-1】函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 答案　D 解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 【例2-2】若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________． 答案　(－∞，0] 解析　函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]． 归纳总结： 【练习2-1】已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0. 【练习2-2】方程2x＝2－x的解的个数是 ． 答案　1 解析　方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)． 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 题型三 指数函数的性质及应用 考点1 比较大小 【例3-1