专题04 幂函数与二次函数-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.4幂函数与二次函数 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.通过实例，了解幂函数的概念. 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 【要点整合】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2．二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数. 3．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 5．二次函数常用结论 (1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根. (2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=. (3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). 【典例讲练】 题型一 幂函数的图象和性质 【例1-1】若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 答案　D 解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D. 【例1-2】若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案　B 解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B. 归纳总结： 【练习1-1】已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 答案　B 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B. 【练习1-2】若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是____________． 答案　(－∞，－1)∪ 解析　不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 题型二 求二次函数的解析式 【例2-1】已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝x2－2x＋3 解析　由f(0)＝3，得c＝3， 又f(1＋x)＝f(1－x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴＝1，∴b＝2， ∴f(x)＝x2－2x＋3. 【例2-2】已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案　x2＋2x 解析　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1， 得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 归纳总结： 【练习2-1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 答案　x2＋2x＋1 解析　设函数f(x)的解析式为f(