专题03 函数的奇偶性与周期性-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.3函数的奇偶性和周期性 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 【要点整合】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【典例讲练】 题型一 函数奇偶性的判断 【例1-1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝36，解得x＝±6， 即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f(x)＝＋＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． 归纳总结： 【练习1-1】下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x＋sin 2x B．f(x)＝x2－cos x C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tan x 答案　D 解析　对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－为奇函数；只有f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D. 【练习1-2】下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　) A．y＝ B．y＝－x3 C．y＝x D．y＝x＋ 答案　B 解析　由题意得，对于函数y＝和函数y＝x都是非奇非偶函数，排除A，C.又函数y＝x＋在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D，故选B. 题型二 函数的周期性及其应用 【例2-1】已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________. 答案　－2 解析　f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 【例2-2】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________. 答案　－2－ 解析　由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－. 归纳总结： 【练习2-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. 答案　6 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期为6的周期函数， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 【练习2-2】设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件： ①f(x)＋f(－x)＝0； ②f(x)＝f(x＋2)； ③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1， 则＋f(1)＋＋f(2)＋＝________. 答案　－1 解析　依题意知：