专题02 函数的单调性与最值-2021年新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.2函数的单调性与最值 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【要点整合】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I， 都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【典例讲练】 题型一 确定函数的单调性 【例1-1】函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)． 【例1-2】函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图象如图． 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 归纳总结： 【练习1-1】函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________． 答案　[1,2] 解析　f(x)＝ 画出f(x)图象， 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]． 【练习1-2】下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1) 答案　C 解析　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 题型二 讨论函数的单调性 【例2-1】判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性． 解　函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1,2]上单调递增． 证明：设1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1)， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－<－. 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 【例2-2】函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是______________． 答案　(－∞，2] 解析　因为f(x)在R上单调递增，所以a－1>0，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]． 归纳总结： 【练习2-1】如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是______________． 答案　 解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. 综上，实数a的取值范围是. 题型三 函数的最值 【例3-1】函数y＝的值域为________